庞加莱猜想属于拓扑学领域的核心问题，由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出。该猜想断言：任何一个单连通的、封闭的三维流形都同胚于三维球面。这个表述看似简单，却深刻反映了三维空间的本质特性。俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在2002-2003年间发表了三篇论文，运用理查德·哈密顿提出的里奇流方法，最终证明了这一猜想。佩雷尔曼的创新在于解决了里奇流中的奇点问题，并引入了\"手术\"技术来处理流形在演化过程中可能出现的拓扑变化。这一证明不仅解决了庞加莱猜想，还完整证明了更一般的几何化猜想，为理解三维空间的拓扑结构提供了全新的视角。
四色定理是图论中最着名的问题之一，最早由弗朗西斯·古德里在1852年提出。该定理声称：任何划分在平面上的地图，只需要四种颜色就足以确保相邻区域颜色不同。1976年，肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯首次给出了这个定理的证明。他们的证明方法具有开创性，将问题转化为1936种特殊构型的可约性分析，并首次大规模使用计算机进行辅助证明。虽然这个证明在当时引发了关于计算机在数学证明中角色的争议，但它确实开创了数学研究的新范式。后来在1996年，罗伯逊等人给出了更简化的证明，将需要检查的构型数量减少到633个，但计算机验证仍然是证明过程中不可或缺的部分。
哥德巴赫猜想是数论中最重要的未解决问题之一，由克里斯蒂安·哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出。猜想分为强弱两种形式：强形式认为每个大于2