黎曼猜想是数学界最重要的未解决问题，由伯恩哈德·黎曼在1859年提出。该猜想涉及黎曼ζ函数的非平凡零点，断言所有这些零点的实部都等于1\/2。虽然完整的黎曼猜想仍未解决，但在特定情况下取得了重要进展。1989年，布莱恩·康瑞证明了至少40的非平凡零点位于临界线上。2018年，迈克尔·格里菲斯等人将这个比例提高到4173。这些部分结果都是通过发展新的解析技巧和引入深刻的数论思想获得的。黎曼猜想的解决将对素数分布理论产生革命性影响，因此被列为克雷数学研究所的七大\"千禧年难题\"之一，悬赏百万美元征求解答。
bsd猜想是算术几何领域的核心问题，由伯奇和斯温纳顿-戴雅在1960年代提出。该猜想建立了椭圆曲线的算术性质与其l函数解析性质之间的深刻联系。1986年，本尼迪克特·格罗斯和唐·扎吉尔对一类特殊的椭圆曲线证明了bsd猜想。他们的工作建立在模形式理论和海格纳点理论的基础上，通过构造特定的heegner点来生成椭圆曲线上的有理点群。2002年，维塔利·库兹涅佐夫等人对秩为1的椭圆曲线给出了更完整的证明。这些突破性工作不仅验证了bsd猜想在某些情况下的正确性，还极大地推动了现代数论的发展。
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本偏微分方程，其解的存在性与光滑性是克雷数学研究所的千禧年难题之一。虽然完整解尚未找到，但在特定条件下取得了重要进展。2000年，皮埃尔-路易·利翁证明了在二维情况下解的整体存在性和唯一性。2014年，陶哲轩对三维情况给出了部分正则性结果。这些证明都运用了现代非线性偏微分方程的深刻理论，特别是能量估计和紧性方法。该问题的完全解决将彻底改变我们对流体动